Числа #

Появление чисел #

Натуральное число в десятичной записи имеет вид: \(n = \sum_{m=0}^{k-1} a_m 10^m \\ 0 \le a-m \le 9 \text{, } m = 0, 1,...,k-1\)

Расширяя эту формулу можно записать, что любое натуральное число \(n \in \N\) может быть представлено в виде: \(n = \sum_{m=0}^{k-1} b_mp^m \\ 0 \le b_m \le p-1, m = 0, 1,..., k-1\) Это число записывается в p-ричной системе счисления, имеющей p цифр.

9376 - единственное четырехзначное число, у которого при возведении в квадрат сохраняются последние 4 цифры: 9376^2 = 87909376

Целые числа(расширение натуральных чисел отрицательными и нулём):

Рациональные числа(расширение целых чисел дробями):

Вещественные числа(расширяют рациональные иррациональными; возникли из необходимости измерения непрерывных величин)

Теорема: корень квадратный из 2 - иррациональное число #

Доказательство от противного. Предположим, что это рациональное число, тогда: \(\sqrt 2 = \frac{p}{q} \\ p,q \in \N\)

p и q - взаимно простые числа(то есть не имеют общих делителей, кроме 1) => по крайней мере одно из них - нечетное. Возводя обе части равенства в квадрат, получаем: \(p^2 = 2q^2\) Откуда следует, что p - четное число, таким образом, \(p = 2m \\ m \in \N\) Подставляя это выражение вместо p в предыдущее равенство, получаем: \(4m^2 = 2q^2 \implies 2m^2 = q^2\) откуда следует, что и q - четное, что является противоречием.

Теория чисел #

Теория чисел - раздел математики, изучающий целые числа.

Теория простых чисел - натуральное число p > 1 называется простым, если оно делится только на единицу и на само себя. Натуральное число q > 1, не являющееся простым, называется составным.

Теорема Евклида: Множество простых чисел бесконечно.

Доказательство. Предположим обратное. Тогда: \(n_1 < n_2 < ... < n_m\) все простые числа. Составим число: \(p = n_1n_2...n_m + 1\)

Так как p - больше наибольшего простого числа, оно составное. Но в этом случае, оно должно делиться на одно из простых чисел, однако из вида этого числа следует, что при делении его на любое простое число получится остаток 1, что и является искомым противоречием.

Евклидом же был введено понятие чисел-близнецов. Это такие простые числа: \(p, q, \text{ } p > q \\ p - q = 2\) Он же поставил вопрос, является ли множество чисел близнецов бесконечным? Этот вопрос до сих пор не имеет ответа.

Треугольник со сторонами 3,4,5 - называется египетский.

Теорема Ферма: Не существует натуральных чисел x, y, z, удовлетворяющих уравнению \(x^n + y^n = z^n \\ n \ge 3\)