Числа #
Появление чисел #
Натуральное число в десятичной записи имеет вид:
Расширяя эту формулу можно записать, что любое натуральное число может быть представлено в виде: Это число записывается в p-ричной системе счисления, имеющей p цифр.
9376 - единственное четырехзначное число, у которого при возведении в квадрат сохраняются последние 4 цифры: 9376^2 = 87909376
Целые числа(расширение натуральных чисел отрицательными и нулём):
Рациональные числа(расширение целых чисел дробями):
Вещественные числа(расширяют рациональные иррациональными; возникли из необходимости измерения непрерывных величин)
Теорема: корень квадратный из 2 - иррациональное число #
Доказательство от противного. Предположим, что это рациональное число, тогда:
p и q - взаимно простые числа(то есть не имеют общих делителей, кроме 1) => по крайней мере одно из них - нечетное. Возводя обе части равенства в квадрат, получаем: Откуда следует, что p - четное число, таким образом, Подставляя это выражение вместо p в предыдущее равенство, получаем: откуда следует, что и q - четное, что является противоречием.
Теория чисел #
Теория чисел - раздел математики, изучающий целые числа.
Теория простых чисел - натуральное число p > 1 называется простым, если оно делится только на единицу и на само себя. Натуральное число q > 1, не являющееся простым, называется составным.
Теорема Евклида: Множество простых чисел бесконечно.
Доказательство. Предположим обратное. Тогда: все простые числа. Составим число:
Так как p - больше наибольшего простого числа, оно составное. Но в этом случае, оно должно делиться на одно из простых чисел, однако из вида этого числа следует, что при делении его на любое простое число получится остаток 1, что и является искомым противоречием.
Евклидом же был введено понятие чисел-близнецов. Это такие простые числа: Он же поставил вопрос, является ли множество чисел близнецов бесконечным? Этот вопрос до сих пор не имеет ответа.
Треугольник со сторонами 3,4,5 - называется египетский.
Теорема Ферма: Не существует натуральных чисел x, y, z, удовлетворяющих уравнению