Комплексные числа #

Появились в XVIв. в процессе исследования алгебраических уравнений(квадратных, кубических и т.д.). Как известно из школьного курса алгебры, некоторые такие уравнения “не имеют корней”. Но это верно только на множестве вещественных чисел. Для решения этой проблемы множество вещественных чисел было расширено так, чтобы подобные корни появились. Другое название комплексных чисел - мнимые.

По определению комплексно число - это упорядоченная пара вещественных чисел, обозначаемая (a, b). Эти числа можно интерпретировать как координаты точки(a - абсцисса, b - ордината).

Абсцисса - координата точки по оси X
Ордината - –\– Y
Аппликата - –\– Z

Два комплексных числа (a, b) и (c, d) считаются равными тогда и только тогда, когда: \(a = c \\ b = d\)

Сложение комплексных чисел: \((a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)\)

Умножение: \((a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)\) Таким образом, произведение не зависит от порядка сомножителей.

Вычитание - нахождение неизвестного слагаемого
Деление - нахождение неизвестного сомножителя

Рассмотрим точки, лежащие на оси абсцисс, например (a, 0). Для таких комплексных чисел операции сложения и умножения дают следующие результаты: \((a,0) + (b,0) = (a+b,0) \\ (a,0)(b,0) = (ab, 0)\) из которых видно, что алгебра комплексных чисел, лежащих на лси абсцисс совпадает с алгеброй вещественных чисел, таким образом: \((a,0) = a\)

Все вещественные числа (и только они) лежат на оси абсцисс, которая так же является числовой прямой. А все точки с ненулевой ординатой являются невещественными числами.

Докажем, что в множестве комплексных чисел существует корень уравнения: \(x^2 + 1 = 0\) то есть, существует число, квадрат которого равен -1. Для этого возведем в квадрат число (0, 1): \((0,1)(0,1) = (-1,0) = -1\)

Комплексное число (0,1), называемое мнимой единицей, Л. Эйлер предложил обозначать буквой i: \(i^2 = -1\) Таким образом, точкам оси ординат отвечают комплексные числа вида bi, где b - произвольное вещественное число.

Обычно комплексные числа записывают в виде: \(a + bi\) Такая запись использует декартовы координаты точки. Кроме того, существует тригонометрическая форма записи комплексного числа. Положение точки на плоскости может быть определено с помощью расстояния от этой точки до начала координат и угла между положительным направлением оси абсцисс и лучом, выходящим из начала координат и проходящим через эту точку.

Для комплексного числа a+bi упомянутые величины обозначаются через: \(r \text{ - расстояние} \\ \varphi \text{ - угол}\) Таким образом, при любом расположении точки a + bi на координатной плоскости справедливы соотношения: \(x = r \cos \varphi, \\ y = r \sin \varphi\)

Отсюда, а так же из теоремы Пифагора следует: \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)

Число r называется модулем комплексного числа a + bi, а угол - аргументом. При r = 0 модуль не определен. Единственное число с нулевым модулем - (0,0)

К комплексным числам не применимы неравенства типа “больше” или “меньше”, поэтому сравнивать их можно только по модулю.

Основная теорема алгебры #

Пусть \(P(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + ... + a_n z^n -\) многочлен(полином) с комплексными коэффициентами \(a_0, a_1, a_2,...,a_n\) заданный в комплексной плоскости, т.е. множестве чисел z = a + bi. Если \(a_n \ne 0\) то говорят, что многочлен P имеет степень n.

Основная теорема алгебры: Если степень многочлена n >= 1, то уравнение \(P(z) = 0\) имеет, по крайней мере один комплексный корень.

Это утверждение также называется Теоремой Гауса.

Основным следствием этой теоремы является то, что любой многочлен степени n >= 1 может иметь не более n корней (при этом некоторые из них могут совпадать).

Стоит отметить, что общей формулы для уравнений степени n >= 5 не существует.